Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Содержание

1 Определение понятия логарифм
2 Логарифмирование
3 Функция логарифма и ее свойства
4 Примеры решения типовых задач ЕГЭ
- 4.1 Похожие статьи

Определение понятия логарифм

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Определение логарифма

Разберем конкретный пример: а^log_a^x = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

Если a › 1, то для x › 1 log_ax › 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 log_ax ‹ 0.
Если 0 ‹ а ‹ 1, то для x › 1 log_ax ‹ 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 log_ax › 0
Если а › 0 и а ≠ 1, то log_a1 = 0
Если а › 0 и а ≠ 1, то log_aa = 1
Если x₁= x₂, то log_ax₁=log_ax₂, где а › 0 и а ≠1
Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
Логарифм степени равен логарифму основания, умноженному на показатель степени.
Основание логарифма можно поменять по формуле:
Если возвести основание и аргумент логарифма в одну и ту же степень, то его значение не измениться.

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Примеры:

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка ( – ∞; +∞);
если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а^x. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log_2⁡x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log₂⁡(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

Задание 1

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Поэтому график y=-log_3⁡x убывает на всей области определения, а y= -log_(1/3)⁡x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.

Ответ: 3,4,5.

Задание 2

Ответ: 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Y = log_0.7⁡(0,1x-5)

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:

Ответ: область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Задание 4.

Ответ: 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 – 4 балла.

Задание 5. Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств:

Итак, искомый промежуток находится в пределе интервала (-4; 8), при других x становится невозможным вычислить значение одного из данных логарифмических выражений.

Согласно свойствам логарифмической функции сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.

Графиком функции y = – x² + 4x + 32 является парабола, схематический график которой представлен ниже.

Точка A является экстремумом графика, в ней y принимает наибольшее значение. Координаты точки A (m; n) вычисляются по формулам, приведенным на рисунке. Высчитаем n для заданной параболы.

Наибольшее значение y_max = 36. Так как основание логарифма в примере больше 1, то функция будет возрастающей, и достигнет наибольшего значения при максимальном аргументе. Узнаем максимум для F(y):

Наименьшего значения в конкретном примере нет, поэтому ОДЗ для f(x) = log₃⁡(x+4)+ log₃⁡(8-x) является следующий интервал (- ∞; 2log₃6).

Подобные задачи можно отнести к категории «сложно» и оценивать не менее 4 баллов за правильный ответ.