Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач
Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.
Содержание
Определение понятия логарифм
Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.
Разберем конкретный пример: аlogax = x, где a › 0, a ≠ 1.
Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:
- Если a › 1, то для x › 1 logax › 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 logax ‹ 0.
- Если 0 ‹ а ‹ 1, то для x › 1 logax ‹ 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 logax › 0
- Если а › 0 и а ≠ 1, то loga1 = 0
- Если а › 0 и а ≠ 1, то logaa = 1
- Если x1 = x2, то logax1=logax2, где а › 0 и а ≠1
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
- Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
- Логарифм степени равен логарифму основания, умноженному на показатель степени.
- Основание логарифма можно поменять по формуле:
- Если возвести основание и аргумент логарифма в одну и ту же степень, то его значение не измениться.
Логарифмирование
Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.
Примеры:
Функция логарифма и ее свойства
Логарифмическая функция имеет вид
Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.
Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:
- область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
- ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка ( — ∞; +∞);
- если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
- если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
- логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
- кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).
Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере
Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.
Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= аx. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.
Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.
Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log2x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.
В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log2(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.
Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.
Примеры решения типовых задач ЕГЭ
Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.
Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.
Задание 1
F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.
Поэтому график y=-log3x убывает на всей области определения, а y= -log(1/3)x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.
Ответ: 3,4,5.
Задание 2
Ответ: 4.
Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.
Задание 3.
Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.
Y = log0.7(0,1x-5)
Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:
Ответ: область определения D(x) – интервал (50; + ∞).
Задание 4.
Ответ: 3, 1, оси OX, направо.
Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.
Задание 5. Найти область значений для функции:
Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств:
Итак, искомый промежуток находится в пределе интервала (-4; 8), при других x становится невозможным вычислить значение одного из данных логарифмических выражений.
Согласно свойствам логарифмической функции сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.

Графиком функции y = — x2 + 4x + 32 является парабола, схематический график которой представлен ниже.
Точка A является экстремумом графика, в ней y принимает наибольшее значение. Координаты точки A (m; n) вычисляются по формулам, приведенным на рисунке. Высчитаем n для заданной параболы.
Наибольшее значение ymax = 36. Так как основание логарифма в примере больше 1, то функция будет возрастающей, и достигнет наибольшего значения при максимальном аргументе. Узнаем максимум для F(y):
Наименьшего значения в конкретном примере нет, поэтому ОДЗ для f(x) = log3(x+4)+ log3(8-x) является следующий интервал (- ∞; 2log36).
Подобные задачи можно отнести к категории «сложно» и оценивать не менее 4 баллов за правильный ответ.