Методы решения квадратных уравнений. Примеры

Квадратные уравнения отличаются от линейных наличием одного неизвестного, возведенного во вторую степень. В классическом (каноническом) виде множители a, b и свободный член c  – не равны нулю.

Содержание

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение – это уравнение, в котором левая часть равна нулю, а правая — представляет собой трехчлен второй степени вида:

Квадратное уравнение

Решить трехчлен или отыскать его корни значит найти значения x, при которых равенство становится верным. Отсюда следует, что корнями такого уравнения называют значения переменной x.

Поиск корней через формулу дискриминанта

Пример может иметь одно или два корня, а может не иметь ни одного. Есть очень простой и понятный алгоритм действий для определения количества решений. Для этого достаточно найти дискриминант – специальную расчетную величину, используемую при поиске корней. Формула для вычислений выглядит следующим образом:

Формула дискриминанта

В зависимости от полученного результата можно сделать следующие выводы:

  • имеется два корня, если D > 0;
  • имеется одно решение, если D = 0;
  • корней нет, если D < 0.

В последнем случае ответ можно считать найденным — «решений нет». Дело в том, что дальнейшие вычисления потребуют извлечь корень квадратный дискриминанта, чего абсолютно точно нельзя сделать с отрицательным числом.

Если же D ≥ 0, то нужно продолжить расчеты по формуле:

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Значение x1 будет равно Ashampoo_Snap_28 октября 2017 г._09h55m47s_004_, а x2 − Ashampoo_Snap_28 октября 2017 г._09h55m47s_005_. Если же D = 0, то знак «±» теряет какой-либо смысл, потому что √0 = 0. В этом случае единственный корень равен Ashampoo_Snap_28 октября 2017 г._09h55m47s_006_.

Примеры решения квадратного уравнения

Алгоритм решения многочлена очень прост:

  1. Привести выражение к классическому виду.
  2. Определить имеются ли корни квадратного уравнение (формула дискриминанта).
  3. Если D ≥ 0, то найти значения переменной x с помощью любого из известных способов.

Приведем наглядный пример, как решить квадратное уравнение.

Задача 1. Найти корни и графически обозначить область решения уравнения 6x + 8 — 2×2 = 0.

Сначала, необходимо привести равенство к каноническому виду ax2+bx+c=0. Для этого переставим слагаемые многочлена местами.

задача 1-1

Затем, упростим выражение, избавившись от коэффициента перед x2. Умножим левую и правую часть на (-1)⁄2, в результате получим:

задача 1-2

Преимущества формул для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант заключается в том, что с их помощью можно решить любой трехчлен второй степени.

Итак, в приведенном многочлене a=1, b=-3, а c=-4. Вычислим значение дискриминанта для конкретного примера.

задача 1-3

Значит, уравнение имеет два корня. Чтобы графически найти область решения примера нужно построить параболу, функция которой равна  Ashampoo_Snap_28 октября 2017 г._11h42m21s_009_.

Графики выражения будут выглядеть следующим образом:

Снимок экрана 2017-10-29 в 13.28.36

В рассматриваемом примере D>0, следовательно,  корней  – два.

Задача 1-4

Совет 1: Если множитель a – отрицательное число, необходимо умножить обе части примера на (-1).

Совет 2: Если в примере присутствуют дроби, постарайтесь избавиться от них, помножив левую и правую сторону выражения на обратные числа.

Совет 3: Всегда следует приводить уравнение к каноническому виду, это поможет исключить вероятность путаницы в коэффициентах.

Теорема Виета

Существуют методы, позволяющие значительно сократить вычисления. К ним относят теорему Виета. Данный способ можно применить не ко всем типам уравнений, а только если множитель при переменной x2 равен единице, то есть a = 1.

Рассмотрим данное утверждение на конкретных примерах:

  1. 5×2 — 2x + 9 = 0 − применение теоремы в данном случае нецелесообразно, так как a = 5;
  2. –x2 + 11x — 8 = 0 − a = -1, значит решать уравнение способом Виета можно только после приведения к классическому виду, т. е. умножив обе части на -1;
  3. x2 + 4x – 5 = 0 − это задание идеально подходит для разбора метода решения.

Для того, чтобы быстро найти корни выражения, необходимо подобрать пару значений x, при которых справедлива следующая система линейных уравнений:

Теорема Виета (2)

Решать такую систему следует методом подбора, иначе вычисления только усложнятся. Например, для выражения x2 +4x – 5 = 0 условия выглядят так:

Снимок экрана 2017-10-29 в 13.45.43

Подбираем вероятные значения и получаем x1 = 1 и x2 = -5.
Выполним проверку найденных ответов, поочередно подставив x1 и x2 в первоначальный пример.

Частные случаи решения

Существует вариант формул дискриминанта для уравнений с четным значением второго коэффициента — b.

частный случай решения

Загрузка...

Данные формулы не обязательны для запоминания и о них не всегда пишут в учебниках, однако, их применение может сэкономить время при поиске решения. Чем проще формулы для расчета, тем меньше вероятность совершить ошибки в вычислениях.

 

Загрузка...

Похожие статьи