Определение и примеры неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.
Содержание
Разновидности неполных уравнений
Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:
- Если b = 0, то уравнение имеет вид ax2 + c = 0.
- Если c = 0, то решать следует выражение ax2 + bx = 0.
- Если b = 0 и c = 0, то многочлен превращается в равенство типа ax2 = 0.
Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.
Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением
Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:
- Привести выражение к удобному для поиска корней виду.
- Произвести вычисления.
- Записать ответ.
Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.
Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:
4x2 – 1 = 0.
Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:
4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Очевидно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Подобным требованиям отвечают значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.
Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:
Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.
x2 + 3x = 0
Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.
Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения
Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.
-7x2 – 3x = 0.
Рассчитаем значение дискриминант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, многочлен имеет два корня:
Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.
-x ⋅ (7x + 3) = 0,
1) –x1 = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.
Теорема Виета
А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.
На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.
Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:
Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:
x2 – 16 = 0.
Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:
x2 + 0 – 16 = 0.
Следующим шагом составим систему условий:
Очевидно, что корнями квадратного многочлена будут x1 = 4 и x2 = -4.
Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x2 – 1 = 0
Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.
Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.
