Теорема косинусов, синусов: формулировка, следствия и примеры

Тригонометрия широко применяется не только в разделе алгебра — начала анализа, но также и в геометрии. В связи с этим, разумно предположить о существовании теорем и их доказательств, связанных с тригонометрическими функциями. Действительно, теоремы косинусов и синусов выводят очень интересные, а главное полезные соотношения между сторонами и углами треугольников.

Содержание

Теорема косинусов

Теорема косинусов

С помощью данной формулы можно вывести любую из сторон треугольника:

формулы теоремы косинусов

Доказательство утверждения выводится на основе теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Из вершины C опустим  высоту h к основанию фигуры, в данном случае абсолютно не важна ее длина. Теперь, если рассмотреть произвольный треугольник AСВ, то  можно выразить координаты точки C через тригонометрические функции cos и sin.

рисунок доказательства теоремы косинусов

Вспомним определение косинуса и распишем соотношение сторон треугольника ACD: cos α = AD/AC | умножим обе стороны равенства на AC; AD = AC * cos α.

Длину AC примем за b и получим выражение для первой координаты точки С:
x = b * cos⁡α. Аналогично, находим значение ординаты С: y = b * sin α.  Далее применим теорему Пифагора и выразим h поочередно для треугольника ACD и DCB:

теорема Пифагора для косинусов

Очевидно, что оба выражения (1) и (2) равны между собой. Приравняем правые части и приведем подобные:

доказанная формула теоремы косинусов

На практике данная формула позволяет найти длину неизвестной стороны треугольника по заданным углам. Теорема косинусов имеет три следствия: для прямого, острого и тупого угла треугольника.

следствия из теоремы косинусов

Заменим величину cos α привычной переменной x, тогда для острого угла треугольника ABC получим:

первое следствие теоремы косинусов

Если же угол окажется прямым, то 2bx исчезнет из выражения, так как cos 90° = 0. Графически второе следствие можно представить следующим образом:

второе следствие теоремы косинусов

В случае тупого угла знак «-»перед двойным аргументом в формуле сменится на «+»:

третье следствие теоремы косинусов

Как видно из объяснения, ничего сложного в соотношениях нет. Теорема косинусов есть не что иное, как переложение теоремы Пифагора в тригонометрических величинах.

Практическое применение теоремы

Задание 1.  Дан треугольник ABC, у которого сторона BC = a = 4 см, AC = b = 5 см, а cos α = ½. Необходимо найти длину стороны AB.

Чтобы правильно произвести расчет, нужно определить угол α. Для этого стоит обратиться к таблице значений для тригонометрических функций, согласно которой арккосинус равен 1/ 2 для угла в 60°. Исходя из этого, воспользуемся формулой первого следствия теоремы:

вычисления примера 1

Задание 2. Для треугольника ABC известны все стороны: AB =4√2,BC=5,AC=7. Требуется найти все углы фигуры.

В данном случае не обойтись без чертежа условий задачи.

Рисунок для примера 2

Так как значения углов остаются неизвестными, для поиска решений следует использовать полную формулу для острого угла.

вычисления примера 2

По аналогии нетрудно составить формулы и рассчитать значения и других углов:

вычисления примера 2 часть 2

В сумме три угла треугольника должны составить 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, следовательно, решение найдено.

Теорема синусов

Теорема гласит, что все стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Записываются соотношения в виде тройного равенства:

формула теоремы синусов

Классическое доказательство утверждения проводят на примере фигуры вписанной в окружность.

Рисунок доказательства теоремы синусов

Чтобы убедиться в правдивости высказывания на примере треугольника ABC на рисунке, необходимо подтвердить тот факт, что 2R = BC / sin A. Затем доказать, что и прочие стороны соотносятся с синусами противоположных углов, как 2R или D окружности.

Для этого проводим диаметр круга из вершины B. Из свойства углов вписанных в окружность ∠GCB – прямой, а ∠CGB либо равен ∠CAB, либо (π — ∠CAB).  В случае с синусом последнее обстоятельство не значительно, так как sin (π –α) = sin α.  На основании приведенных умозаключений можно утверждать, что:

sin ∠CGB = BC/ BG или sin A = BC/2R,

2R=BC/sinA.

Если рассматривать другие углы фигуры, получим расширенную формулу теоремы синусов:

расширенная формула теоремы синусов

Типовые задания на отработку знания теоремы синусов сводятся к поиску неизвестной стороны или угла треугольника.

Примеры решения задач - теорема синусов

Загрузка...

Как видно из примеров, решение подобных задач не вызывает затруднений и заключается в проведении математических расчетов.

Загрузка...

Похожие статьи