Тригонометрические формулы приведения. Подробный разбор

В тригонометрии, вообще, очень много разных формул. Их количество ни в коем случае не должно пугать школьника. Для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ нужно не зубрить наизусть основные тригонометрические тождества, а понять их суть. Для многих формул разработаны даже специальные мнемонические правила, чтобы их можно было проще запомнить.

Один из самых сложных и запутанных, на взгляд ученика средней школы, раздел тригонометрических выражений – это формулы приведения. Для чего же они нужны? Отбросив вступление, скажем сразу — формулы приведения позволяют заменить функцию на кофункцию. Например, если в задании стоит синус α, его можно заменить на косинус α, и наоборот.

ФункцияКофункция
sin αcos α
cos αsin α
tg αctg α
ctg αtg α

Содержание

Формулы приведения

формулы приведенеия

Так в каких же случаях необходимо применять формул приведения?! Все очень просто, с их помощью, можно заменить не только функцию, но и аргумент. Например, косинус тупого угла можно заменить на косинус или синус острого угла.

А теперь, внимательно рассмотрим список. Нетрудно заметить, что в нем присутствуют некие закономерности. Итак, для каждой функции существует 8 формул приведения: 2 с аргументами (π±α), 2 для угла (2π±α), по две на (π/2±α) и (3π/2±α). Если проанализировать перечень, то можно убедиться, что для первых 4-х аргументов смена функции на кофункцию не происходит. Попробуем переписать аргументы выражений не в радианах, а в градусах:

Снимок экрана 2017-11-21 в 20.53.41

Загадка решена — каждая пара формул описывает поведение функции в той или иной четверти тригонометрической окружности.

четверти для формул приведения

Осталось вывести мнемонические правила для формул приведения и запомнить их.

Мнемонические правила формул приведения

Мнемоника – это совокупность правил, приемов и подсказок, облегчающих запоминание информации, путем создания устойчивых ассоциаций. Для подобных «правил» используют яркие и необычные образы. Всем известны «пифагоровы штаны» и стишок глаголов на спряжение:

стишок спряжения глаголов

Оба примера являются яркой иллюстрацией мнемонических правил.

Чтобы быстро и безошибочно восстановить любую формулу приведения необходимо выполнить три пункта:

  1. Представить исходный аргумент в требуемом виде: (π±α), (2π±α),  (π/2±α) или (3π/2±α).
  2. Определить какой знак имеет исходная функция в требуемой четверти.
  3. Заменить при необходимости функцию на кофункцию: в случаях (π±α)  и (2π±α) функция не меняется,а при (π/2±α) или (3π/2±α)  происходит смена тригонометрического выражения при аргументе.

Разберем конкретный  пример подобных преобразований.

Задача 1.

Привести tg 750° к тригонометрическим функциям острого угла. Решение: Аргумент тангенса можно записать разными способами.

  • tg 750° = tg (2*360° + 30°) = tg (2π + 30°+2π);
  • tg 750° = tg (90° — 60° +  2*360°)= tg (π/2-60° +4π).

Лишними 2π и 4π в обоих случаях можно пренебречь, так как каких-либо серьезных изменений они не вносят. Если поставить карандаш в точку пересечения луча, выходящего из центра окружности под углом к оси ОХ в 𝜋2−60° или  (2𝜋+30°), и дуги окружности, а затем совершить 1 или 2 оборота в 360°, карандаш все равно вернется в исходную точку.

Оба угла 30° и 60° расположены в первой четверти круга, где знак для тангенса — «+». Следовательно, и знак перед новыми функциями будет положительным. Для угла (2π + 30°) функция останется неизменной, а для (π/2-60°) — сменится на кофункцию:

  • tg 750° = tg (2π + 30° )=tg 30°
  • tg 750° = tg (π/2-60°)=ctg 60°

Обратимся к тождествам и проверим результат.

Лошадиное правило

Такое необычное название получил один способ, как запомнить смену функции на кофунцию. По легенде в давние времена жил на свете очень рассеянный математик. И был у него один верный и умный друг – лошадь. Занимаясь тригонометрией математик спрашивал лошадь менять ему функцию или нет, если животное кивало головой происходила замена, нет – все оставалось «на месте».

Разобраться в истории довольно просто, если представить ось координат для построения тригонометрической окружности. Если аргумент функции содержит триго, то есть лошадь кивает «да», происходит смена на кофункцию. Если же перед острым углом стоит π или 2π, умный конь кивает вдоль оси OX – «нет», функция остается прежней.

лошадиное правило

Единственное что необходимо заучить наизусть – это знаки по четвертям для sin, cos, tg и ctg. Существует таблица перехода знаков, но для легкого запоминания она бесполезна.

таблица смены знаков

Тригонометрический круг со знаками для каждой функции гораздо удобнее.

четность тригонометрических функций

Правило ладони

Еще одно очень удобное мнемоническое правило, разработано для запоминания значений арксинусов и арккосинусов острых углов.  Благодаря этому методу для расчета «арков» на ЕГЭ школьнику понадобится только собственная ладонь.

правило Ладони

Если представить, что через большой палец и мизинец проходят оси координат OY и OX, тогда пальцы представляют собой лучи под углами 0, 30°, 45°, 60° и 90°.

Запомним простую формулу  Снимок экрана 2017-11-21 в 21.33.43

Загрузка...

Теперь, чтобы узнать значение arcsin α необходимо подставить вместо n «номер пальца»: 0, 1, 2, 3 или 4. Для arcos α нумеровать необходимо в обратном порядке от 4 до 0.

Загрузка...

Похожие статьи