Определения параллелепипеда. Основные свойства и формулы
Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.
В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:
- прямой;
- наклонный;
- прямоугольный.
Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.
Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.
Содержание
Свойства параллелепипеда
Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:
- Противолежащие ребра и грани фигуры параллельны и равны между собой.
- Углы сонаправленных сторон равны между собой. На фотографии ниже представлено графическое изображение сонапрвленных лучей OA и O1А1. Прямая рассекает пространство на две плоскости. Если лучи расположены в одной полуплоскости и параллельны друг другу, то их называют сонаправленными.
- 4 главные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке внутри фигуры. Любой отрезок, проведенный между двумя плоскостями граней, через данную точку будет поделен ею пополам. Следствием данного свойства можно сформулировать следующим образом: плоскости, в которых лежат главные диагонали параллелепипеда, симметрично делят геометрическое тело.
- Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов ее измерений.
Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.
Формулы параллелепипеда
Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.
Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.
Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.
Примеры решения типовых заданий ЕГЭ
Задание 1.
Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.
Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:
После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.
Задание 2.
Дано: наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение: Сначала необходимо зарисовать дано.
Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.
Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.